베벨기어 형상 원리

베벨기어를 3D 모델링할 때 엄밀하게 하기가 힘들다.
따라서 대부분의 경우 근사화된 모델링으로 만족하는데
FEM이나 접촉해석을 할 때는 이정도로는 곤란하다.

근사화된 모델링을 하는 사례로는 아래의 것을 들 수 있다.

http://gtrebaol.free.fr/doc/catia/bevel_gear.html

이 방법의 경우,
평면상에 작도한 인볼류트 프로파일 커브를,
원뿔면 서피스에 그대로 프로젝션 시키고 있다.

(1) 프로젝션의 방향은 월드좌표계에 일치시키고 있는 듯 하고
(2) 프로젝션의 방법은 CAD 툴에서 제공하는 제한적인 방법(보통 서피스에 노말하게 투영시키거나, 또는 참조한 평면에 노말하게 투영하는 2가지 방법이 제공된)을 사용할 수 밖에 없게 된다.

이것은 엄밀하지도 않고 정확하지도 않다.

따라서 이 상태로 기어를 돌려보면, 간섭이나 미끄러짐 등이 실제와는 전혀 다른 거동을 보이게 될 것이다.  기어면 자체도 실제와는 오차가 상당히 나게 된다.

일반적인 CAD 툴에서 제공하는 기어 모델링 방법들은 대부분 이정도 수준이기 때문에
설계자 입장에서는 곤란한 경우가 발생한다.

엄밀하게 데이타를 생성하는 툴들은 전부 상용 프로그램들 뿐이다.
오픈소스 쪽에서 오랫동안 찾아봤지만 제대로 된 것을 본 적이 없다.


일단, 베벨기어 형상의 원리를 이해하려면 아래의 2가지 동영상을 참고해 보면
이해가 쉬울 것이다.

평면에서 작동하는 일반적인 스퍼기어의 2개의 회전축은 서로 0도의 각도를 가진다.
이 상태에서 조금이라도 각도가 발생하게 되면, 반드시 만나는 지점이 생기고
그 지점을 중심축으로 하여 베벨기어가 성립하게 된다.

보통 베벨기어는 2개의 회전축간의 각도가 90도로 하므로, 이런 점을 참고할 수 있다.

또한, 2개의 회전축간에 각도가 있어서 만나는 지점은
구의 중심점이 된다.
달리말해 일반 평행 스퍼기어열은 구의 반지름이 무한대인 경우라고도 말할 수 있다.

결론적으로
엄밀한 베벨기어의 치형을 작도하기 위해서는 다음의 절차를 거쳐야 한다.

(1) 평면상에 일반적인 인볼류트 치형을 작도한다.
(2) 이것을 임의의 반지름을 가진 구면에 투영시킨다.
(3) 투영 시키는 방법은, 구의 중심점에서 바라본 시점을 보도록 해 준다.

'구의 중심점에서 바라본 시점을 보도록 투영시킨다'는 말의 의미는
일반적인 지도 제작법에서, 흔히 쓰는 스테레오 투영법(Stereographic Projection)과는 좀 다르다는 이야기다.

지도에서의 스테레오 투영법은,
구의 중심점에서 바라보는게 아니고
반대 극점(북극)에서 바라본 시점을 보도록 투영시키는 방법이다.

때문에 투영시킬 때 사용하는 수식(Notaion)이 좀 달라지게 될 것이다.