Dymaxion.Kim: 트레드스톤 근사화 방법

베벨기어를 제작하기 위한 일반적인 도면은 아래와 같이 표시된다.

( 그림 출처 : http://nptel.iitm.ac.in/courses/IIT-MADRAS/Machine_Design_II/pdf/2_13.pdf )
인도 NPTEL(인도 국립 기술 향상 교육 프로그램)의 교육자료 중 발췌
저자 Prof. K.Gopinath & Prof. M.M.Mayuram

베벨기어의 치형은 엄밀하게 하자면, 구(Sphere)에 투영시켜 나타내어야 하는데
그렇게 할 경우 위 도면에 나타난 어덴덤,디덴덤 값들과 정확히 일치시켜 맞추기가 힘들다.
왜냐면 이 형식의 도면은 구면이 아니고 'Back Cone'이라는 원뿔형에 투영시킨 것을
염두에 두고 그린 표준적인 것이기 때문이다.

왜 이렇게 했을까.
당연히 구형에 투영시킨 치형을 창성해서 제작하거나 다루기가 힘들었기 때문이다.
즉 구면이 아니고 'Back Cone'으로 대체시켜 투영시켜도 어차피 큰 오차가 없으니
그냥 그렇게 하자고 했고, 그게 지금은 표준 비슷하게 되어 있다.

( 그림 출처 : http://books.google.co.kr/books?id=iauMTmKxfBoC&pg=PA88&dq=Exact+Spherical+Involute&hl=ko&sa=X&ei=gEa0UMDWHqfriQLK8YDoCQ&ved=0CDEQ6AEwAQ#v=onepage&q=Exact%20Spherical%20Involute&f=false 88쪽 )
A TREATISE ON GEARWHELS by George B. Grant, 1907년 초판후 2000년에 10쇄된 것

위 그림을 보면, 구면에 원뿔(Back Cone)을 얹어서,
그 원뿔에 치형을 투영시켜 표현한다는 방법을 잘 이해할 수 있다.

( 그림 출처 : http://www.scribd.com/doc/13657874/Machine-Design-RS-Khurmi-JK-Gupta-Chapter30 6쪽 )
Machine Design by RS Khurmi / JK Gupta

위 그림을 보면, Back Cone은 해당 구면에 접하도록 설정한다는 점을 참고할 수도 있다.

이상과 같은 근사화 방법을
'트레드스톤 근사화(Tredstone Approximate)' 또는
'트레드스톤 방법(Tredstone's Method)'이라고 부른다.

트레드스톤 근사화 방법을 따르지 않고, 원래의 엄밀한 형상
즉 구면에 직접 투영시켜 설계된 베벨기어는 별도로
"엄밀한 베벨 기어(Exact Bevel Gear)"라고 부른다.

기본이 되는 원래의 스퍼 기어열을 변형시켜 갈 때
2개의 회전축을 서로 바로 각도를 주면 --> 베벨기어가 되고
2개의 회전축을 서로 꼬아서 각도를 주면(Scew) --> 90도 지점에서 웜기어가 되며
베벨기어 상태에서 2개의 회전축을 서로 오프셋(Offset) 시켜 주면 --> 하이포이드 기어가 된다.
또 여기서 기어 치형의 두께를 줄 때 역시 각도를 줘서 꼬아주면 --> 헬리컬 기어가 된다.

즉 모든 상황에 다 대응이 가능한 기어열의 일반식을 도출하는 것이 가능하지 않나 싶다.
아직은 그 일반식을 도출한 사례는 보지 못했다.
기어열의 일반식을 이용하여 컴퓨터 연산을 시킬 경우,
수학적인 문제는 극한 문제에 직면하게 될 텐데
일반 컴퓨터 언어로는 극한을 표현할 수 없으므로, 특별한 알고리즘이 필요할 것이다.
이런 분야를 "Computational Mathematics" 라고 한다는데
이와 관련한 라이브러리가 따로 있다고 한다.
제대로 구현하려면 이런 라이브러리를 끌어다 써야 할 것이다.
(예를 들면 오픈소스 라이브러리 중에 CGAL 같은 것들)

CGAL을 이용해서 극한문제를 해결한 투영 알고리즘을 사용한 그래픽 결과물로
재미있는게 있던데 한 번 볼 만 하다.

http://acg.cs.tau.ac.il/projects/internal-projects/arr-geodesic-sphere/movie/aos-xvid.avi